ધારો કે $a = \min \{x^2 + 2x + 3, x \in R\}$ અને $b = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{e^x - e^{-x}}$. તો $\sum_{r=0}^n a^r b^{n-r}$ નું મૂલ્ય શોધો.

List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો અને સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:

List-$I$	List-$II$
$(A)$ જો $A$ એ $3$ કક્ષાનો નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિક હોય અને $|A|=a$ હોય,તો $|\text{adj}(A)|=$	$(I)$ શૂન્ય શ્રેણિક
$(B)$ $A$ એ $3$ કક્ષાનો નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે અને $B$ એ $3$ કક્ષાનો એવો શ્રેણિક છે કે જેથી $AB=O$,તો $B$ એ	$(II)$ $a^2$
$(C)$ $\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ \cos(a-b)y & \cos ay & \cos(a+b)y \\ \sin(a-b)y & \sin ay & \sin(a+b)y \end{vmatrix}$ એ કોના પર આધારિત નથી	$(III)$ $b$
$(D)$ $A$ એ $3$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે અને $B=A-A^T$ છે,તો $B$ એ	$(IV)$ $a$
	$(V)$ $0$

ધારો કે $A, B$ બે $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે અને $C$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે જેથી $AB-C$ એ અસામાન્ય (non-singular) શ્રેણિક છે. ધારો કે $D=(AB-C)^{-1}$. તો,નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો.
વિધાન $I$: $\operatorname{det}(BA)=\operatorname{det}(BA-C) \operatorname{det}(BDA)$
વિધાન $II$: $ABD=DAB$
ઉપરનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?

જો ${a^2} + {b^2} + {c^2} = -2$ અને $f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {a^2}x}&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$ હોય,તો $f(x)$ એ કેટલા ઘાતવાળી બહુપદી છે?

જો $\Delta _1 = \left| \begin{array}{ccc} b^5c^6(c^3 - b^3) & a^4c^6(a^3 - c^3) & a^4b^5(b^3 - a^3) \\ b^2c^3(b^6 - c^6) & ac^3(c^6 - a^6) & ab^2(a^6 - b^6) \\ b^2c^3(c^3 - b^3) & ac^3(a^3 - c^3) & ab^2(b^3 - a^3) \end{array} \right|$ અને $\Delta _2 = \left| \begin{array}{ccc} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{array} \right|$ હોય,તો $\Delta _1 \Delta _2$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b, c, d, e, f$ એ $G.P.$ માં હોય,તો $\left| \begin{array}{ccc} a^2 & d^2 & x \\ b^2 & e^2 & y \\ c^2 & f^2 & z \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય કોના પર આધાર રાખે છે?